Ein kniffliges Zerfallsbeispiel (ohne Taschenrechner)



Radioaktiver Zerfall: Ein Stoff verliert jährlich 2% seiner Menge. Nach wie vielen Jahren hat sich die Startmenge halbiert?

Das ohne Taschenrechner zu lösen ist nicht so einfach….
aber es ist möglich es abzuschätzen wenn man folgendes weiß:

Wenn etwas in einem bestimmten Zeitraum (z.B. ein Jahr) um 1% zerfällt dauert es ziemlich genau 69 mal diesen Zeitraum (also 69 Jahre) bis es sich halbiert hat, weil

   0,9969        0,5

Anmerkungen:

Für grobe Rechnungen (ohne TR) kann statt 69 auch 70 angenommen werden. 

Das muss man nicht ohne TR ausrechnen können aber es ist hilfreich zu wissen dass 1% Zerfall pro Jahr eine Halbierung in 69 Jahren bedeutet.

!!!ACHTUNG! DAS BEDEUTET !!!!NICHT!!! DASS ES ES GENAU HALB SO VIEL ZEIT BRAUCHT WENN ES IN DIESEM ZEITRAUM (pro Jahr) UM  2% ZERFÄLLT!!! (Also 34,5 Jahre in diesem Beispiel) Aaaber:
für kleine Prozentsätze ist diese Schlussfolgerung zumindest ungefähr richtig. Bei kleinen Prozentsätzen kann man mit dieser Schätzung also durchaus die Richtige unter den Antwortmöglichkeiten finden!
(Wenn etwas um 10% pro Jahr zerfällt dauert die Halbierung anstatt den
 geschätzten 6,9 Jahren nur 6,6 Jahre.)

Hier eine Auflistung der Schätzungen mit Vergleich zu den mit Rechner genau bestimmten Werten;

  • 1% radioaktiver Zerfall pro Jahr bedeutet Halbierung nach ca. 69 Jahren. (mit Taschenrechner: 68,97)

2% radioaktiver Zerfall pro Jahr bedeutet Halbierung nach ca. 69/2 = 34,5 Jahren. (mit Taschenrechner:  34,3)

  • 3% Zerfall pro Jahr bedeutet Halbierung nach ca. 69/3  = 23 Jahren. (mit Taschenrechner:  22,7)
  • 5% Zerfall pro Jahr bedeutet Halbierung nach ca. 13,8 Jahren. (mit Taschenrechner: 13,5)
  • 10% Zerfall pro Jahr bedeutet Halbierung nach ca. 6,9 Jahren. (mit Taschenrechner: 6,6)
  • 20% Zerfall pro Jahr bedeutet Halbierung nach ca. 3,45 Jahren. (mit Taschenrechner: 3,1)

Man sieht dass der relative Fehler der Schätzung mit steigendem Prozentsatz größer wird. 

Überlege:
Bei 50% Zerfall pro Jahr ?
Bei 70% Zerfall pro Jahr ?

 

Ähnliches gilt für Wachstum und Verdopplung:

  • 1% Wachstum pro Jahr bedeutet Verdopplung nach ca. 70 Jahren. (69,6)
  • 2% Wachstum pro Jahr bedeutet Verdopplung nach ca. 35 Jahren. (35,0)
  • 3% Wachstum pro Jahr bedeutet Verdopplung nach ca. 23,3  Jahren. (23,4)
  • usw.
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