Schlussrechnungen (Dreisatz)





Mit Schlussrechnungen lassen sich Aufgaben lösen in denen zwei Größen proportional oder antiproportional (umgekehrt oder indirekt propertional) abhängig voneinander sind.


Schlussrechnungen bei proportionaler Abhängigkeit


Im Wort “Proportion” steckt die Phrase “pro Portion”. Wenn man beispielsweise in einem Restaurant Spaghetti bestellt so ist der Preis proportional zur Anzahl an Portionen die man bestellt. 

 

“Zwei Größen sind Proportional abhängig zueinander” bedeutet dass eine Größe mit der anderen wächst. Der Preis ist proportional zur Menge an gekaufter Ware.
Mathematisch kann man dies so formulieren:Menge \sim Preis

Eine Möglichkeit um zu berechnen wie viel eine beliebige Menge an Portionen kosten bieten Schlussrechnungen.


Beispiel 1: 
3kg Äpfel kosten €6,-. Wie viel kosten 7kg?Diese Rechnung ist in zwei Schritte aufgeteilt. Mittels Schlussrechnungen können wir berechnen wie viel 1kg Äpfel kosten und dann wie viel 7kg kosten. Dies geschieht indem man zuerst durch die Menge Äpfel der Angabe dividiert und dann mit der gesuchten Menge multipliziert.

Schlussrechnungen 3kg \,\: {\longleftrightarrow} \, \: 6\euro\: \: \: \: |\div 3

\frac{3}{3}=1kg \,\: {\longleftrightarrow} \, \: \frac{6}{2}=2 \euro\: \: \: \:
Ein kg Äpfel kostet also 2 Euro.1kg \,\: {\longleftrightarrow} \, \:2 \euro\: \: \: \: |\times 7
7kg \,\: {\longleftrightarrow} \, \:14 \euro
7kg Äpfel kosten daher 14,-€.

Beispiel 2:
4 Liter Benzin kosten €6,80. Wie viel kosten 11 Liter?

Schlussrechnungen 4Liter \,\: {\longleftrightarrow} \, \: 6,8 \euro\: \: \: \: \: |\div 4

Schlussrechnungen \frac{4}{4}=1Liter \,\: {\longleftrightarrow} \, \: \frac{6,8}{4}=1,7 \euro

Schlussrechnungen 1Liter \,\: {\longleftrightarrow} \, \: 1,7 Euro\: \: \: \: \: | \times 11

Schlussrechnungen 11\, Liter \,\: {\longleftrightarrow} \, \: \, 18,7\euro

11 Liter Benzin kosten also €18,7.


Antiproportionale Abhängigkeit

Wenn eine Größe kleiner wird wenn eine andere wächst spricht man von antiproportionaler Abhängigkeit. Oft werden auch die Bezeichnungen “indirekt” oder “umgekehrt” proportional verwendet. Beispielsweise ist die Zeit die es braucht um eine bestimmte Arbeit zu verrichten antiportional zur Anzahl an Personen daran mitarbeiten. die Auch solche Zusammenhänge lassen sich mit Schlussrechnungen lösen. Ein eigenes mathematisches Symbol für “antiproportional” gibt es nicht.  Man formuliert einen antiproprtionalen Zusammenhang folgendermaßen:

Dauer \sim \frac{1}{Anzahl \, an\, Personen}

Dadurch ergibt sich auch sofort wie man Aufgaben mit solchen Zusammenhängen berechnet werden: 
Zuerst wird der Kehrwert einer Größe gebildet, dann kann die Aufgabe wie bei direkt-proportionaler Abhängigkeit berechnet werden.


Beispiel 1:

10 Befüllungsmaschinen für Getränkeflaschen benötigen 20 Stunden um eine bestimmte Menge an Flaschen zu befüllen. Es stehen jetzt aber lediglich 5 Maschinen zur Verfügung. Wie viele Stunden brauchen diese 5 Maschinen um die gleiche Menge Flaschen zu befüllen?

10 \, Maschinen\, \, {\longleftrightarrow}\, \, \frac{1}{30\, Stunden}\: \: \: \: \: |\div 10

10 \, \div 10\,= \,1 \, Maschine\, \, {\longleftrightarrow}\, \, \frac{1}{30}\div 10\: = \frac{1}{300\, Stunden}

Eine Maschine würde also 300 Stunden brauchen.

Jetzt für 5 Maschinen:
1 \, Maschine\, \, {\longleftrightarrow}\, \, \frac{1}{300\, Stunden}\: \: \: \: \: | \times 55 \, Maschinen\, \, {\longleftrightarrow}\, \, \frac{5}{300}\: = \frac{1}{60\, Stunden}

5 Maschinen  brauchen also doppelt so lange, nämlich 60 Stunden.