Potenzen, Potenzieren und Potenzrechnung



In der Mathematik stellen Potenzen und Potenzieren eine Abkürzung für mehrfaches Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst dar. Dabei schreibt man rechts über der Zahl die Anzahl wie oft sie mit sich selbst multipliziert werden soll. Diese Anzahl wird “Exponent” oder auch auch “Hochzahl” genannt. Die untere Zahl wird als “Basis” bezeichnet. Folgende Beispiele sollen dies näher erläutern:

Hier ist 3 die Basis, 2 der Exponent und der Potenzwert 9:
Potenzen 3^{\color{Red} 2} = 3\cdot 3=9

Weitere Beispiele:

Potenzen 3^{\color{Red} 3}=3\cdot 3\cdot 3=27

Potenzen 3^{\color{Red} 4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81

Potenzen 4^{\color{Red} 3}=4\cdot 4\cdot 4=64

 


Wenn 1 als Exponent steht dann braucht nicht weiter gerechnet werden. Daher schreibt man 1 normalerweise nicht als Potenz an.

3^{\color{Red} 1}=3

4^{\color{Red} 1}=4


Übungsbeispiele:
Berechne folgende Potenzen:

2^2;\: 2^3;\: 2^4;\: 2^5;\: 2^6;\: 2^7;\: 2^8;\: 2^9;\: 2^{10}

3^5; \: 4^5; 5^5; 6^5

10^1;10^2;10^3;10^4; 10^5;10^6; 10^7;10^8; 10^9


Die Zehnerpotenzen waren wohl am einfachsten zu berechnen, oder? Sie haben auch eine besondere Bedeutung in den Naturwissenschaften und auch anderen Gebieten. Beispielsweise kann man die Lichtgeschwindigkeit, die ja bekanntlich sehr hoch ist, so angeben:

c_{Licht}= 300.000.000 \frac{m}{s}

Mit der Potenzschreibweise kann man dies abkürzen:

Potenzen c_{Licht}= 3\times 10^8 \frac{m}{s}


Rechenregeln für Potenzierung

Addition und Subtraktion von Potenzen

Es können nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden.

\dpi{120} \large p\cdot a^n+q\cdot a^n=(p+q)\cdot a^n
\dpi{120} \large p\cdot a^n +q\cdot a^n=(p +q)\cdot a^n



Beispiel:\dpi{120} \large 3x^3+5x^3=8x^3


 


Multiplizieren und Dividieren von Potenzen gleicher Basis


\dpi{120} \large a^n \cdot a^m=a^{n+m}

Beispiel:
{\color{Green} a^3} \cdot {\color{Red} a^5}= {\color{Green} a\cdot a \cdot a}\cdot {\color{Red} a \cdot a \cdot a \cdot a\cdot a} = a^{3+5}=a^8


Potenzen \dpi{120} \large a^n \div a^m = \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}

Beispiel:

Potenzen {\color{Red} a^5} \div {\color{Green} a^3}=\frac{{\color{Red} a^5}}{{\color{Green} a^3}}=\frac{{\color{Red} a \cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}{{\color{Green} a\cdot a\cdot a}}=a^2


 


Multiplizieren und Dividieren von Potenzen der gleichem Exponenten

Wenn der Exponent zweier Faktoren gleich ist werden die Basen miteinander multipliziert werden. Das Produkt erhält den ursprünglichen, gemeinsamen Exponenten:

Potenzen \dpi{150} \large a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n

Beispiel:
\dpi{120} \large 3^5\cdot 4^5=(3\cdot 4)^5=12^5

Das Potenzieren von Potenzen

Wird eine Potenz als Ganzes potenziert so werden die Hochzahlen miteinander. multipliziert:

Potenzen \dpi{150} \large \box {(a^n)^m=a^{n \cdot m}}

Beispiel:

\dpi{120} (a^2)^3=(a \cdot a)^3=(a \cdot a)\cdot (a \cdot a)\cdot (a \cdot a)=a^6



Potenzen mit negativen Exponenten

Der Exponent muss nicht immer eine positive Zahl sein. Wenn eine Hochzahl negativ ist wird aus einer Multiplikation eine Division durch die gleiche Potenz mit positiver Hochzahl:


Potenzen \dpi{120} \large a^{-n}=\frac{1}{a^n}


Beispiele: 

2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}

\large 2^{-2}\cdot 5^{-3}=\frac{1}{2^2\cdot 5^3}=\frac{1}{4\cdot 125}=\frac{1}{500}=0,002


Man kann auch Einheiten in denen eine Größe im Nenner vorkommt anstatt als Bruch auch als Produkt  mit negativer Hochzahl anschreiben. Ein Beispiel dafür ist die Einheit der Geschwindigkeit “meter pro Sekunde”:

\large \frac{m}{s} = m\cdot s^{-1}





Potenzen mit negativer Basis

Wenn die Basis eine negative Zahl ist so wird der Potenzwert bei geraden Exponenten Positiv. Bei bei ungeraden Hochzahlen bleibt das Vorzeichen der Basis erhalten. Der Potenzwert ist also negativ. Dies ergibt sich auch aus den Rechenregeln für negative Zahlen.

Beispiele:

\dpi{120} ( -2 )^{\color{Green} 2}=(-2)\cdot (-2)={\color{Green} +}4(-2)^{\color{Red} 3}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)={\color{Red} -}8

(-2)^{\color{Green} 4}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)={\color{Green} +}16

(-2)^{\color{Red} 5}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)={\color{Red} -}32

 


Potenzieren von Brüchen

Wenn Brüche potenziert werden so wird der Nenner und der Zähler potenziert. Dies ergibt sich aus den Rechenregeln für Brüche und Bruchrechnungen.

Potenzen \dpi{150} \large \left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}

Beispiel: 
\dpi{120} \left ( \frac{4}{3} \right )^5 = \frac{4^5}{3^5}=4,2139...\cong 4,214


Übungsbeispiele:
\dpi{120} 1.) \left ( \frac{1}{10} \right )^2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 2.) \left ( \frac{3}{4} \right )^3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 3.)\: 0^3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 4.) 1^{10} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 5.) \left ( \frac{3}{4} \right )^{-3} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 6.) \left ( \frac{1}{10} \right )^{-2} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;

7.) 1^{-10}\;\; \; \; \; 8.)(-2)^6 \; \; \; \; 9.) -2^6 \; \; \; \; \;10.) -(-2)^6 \; \; \; \;11.) (-2)^{-6} \; \; \; \; \;12.)-(-2)^{-6}

13.) 4x^5+3x^5\; \; \; \; \; 14.)3x^3+3x^2\; \; \; \; \; 15.)x^m-2x^m\; \; \; \; \; 16.)5\cdot (a+b)^3+3\cdot (a+b)^3