Lineare Funktionen und Geradengleichungen


Inhalt:

  • Was sind Lineare Funktionen?
  • Steigung einer linearen Funktion
  • Ordinatenabschnitt einer linearen Funktion

Lineare Funktionen

 Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, (meistens x und y) die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. 

Beispiel einer Funktion:
y = 2xJedem Wert (Element) von y wird genau ein x-Wert zugeordnet. Einige Werte von y sind in der Wertetabelle eingetragen:

xy
-3-6
-2-4
-1-2
00
12
24
36

Wenn man nun die einzelnen Werte als Punkte in ein Koordinatensystem einträgt so liegen alle Punkte auf einer Linie. Man spricht daher von einem “linearen Zusammenhang zwischen x und y” oder einer “linearen Funktion”.

Lineare Funktionen sind Funktionen die eine Gerade als Graph haben.

 Im Allgemeinen haben lineare Funktionen immer die folgende Gestalt:

y=kx+d


Wobei k die Steigung und d den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse  (“Ordinatenabschnitt”) angibt.

Beachte:  Funktionen werden oft f(x) genannt. f(x) ist nichts anders als der Funktionswert, also y





Die Parameter k und d in der Geradengleichung


k: die Steigung

k ist die Steigung der Geraden. Sie ist die Zunahme des y-Wertes mit der Zunahme des x-Wertes um 1.

Ist k positiv geht die Gerade (von links nach rechts gelesen) nach oben. Ist k=1 nimmt y mit jedem Schritt auch um 1 zu. Je höher k ist desto steiler verläuft die Gerade:


Ist k negativ geht die Gerade nach unten:

y = -x+1

Ist k=0 verläuft die Gerade parallel zur x-Achse: 

Lineare Funktionen & Geradengleichung
k = 0; d=1


d: Ordinatenabschnitt

Der Schnittpunkte mit der y-Achse wird auch Ordinatenabschnitt genannt und hat immer die x-Koordinate 0.

Ist d positv schneidet die Gerade die y-Achse über dem Ursprung:

Lineare Funktionen & Geradengleichung
y=x+1

Ist d negativ schneidet sie darunter:

Lineare Funktionen & Geradengleichung
y=2x-2

Ist d=0 geht die Gerade durch den Ursprung.

Lineare Funktionen & Geradengleichung
y=2x

In dieser interaktiven Grafik kann man die Werte für k und d einstellen und dabei beobachten wie die Gerade sich verändert:




[Sanferin]