Klammern Ausmultiplizieren und Herausheben

Herausheben und Ausmultiplizieren

Herausheben und Ausmultiplizieren gehören zu den wichtigen Grundlagen man beherrschen sollte da sie in verschiedensten Teilgebieten der Mathematik zur Anwendung kommen. Oft helfen sie vieles zu vereinfachen.

  • Ausmultiplizieren (Klammer auflösen)
  • Herausheben (Ausklammern, Faktorisierrn)

Ausmultiplizieren von Klammern

Herausheben und Ausmultiplizieren x \cdot (a+b)=x\cdot a+x\cdot b

Herausheben und Ausmultiplizieren x \cdot (a-b)=x\cdot a-x\cdot b

Eine Klammer multipliziert man mit einem Faktor indem man jeden einzelnen Term innerhalb der Klammer mit dem Faktor außerhalb der Klammer multipliziert.

Zwei Klammern werden miteinander multipliziert indem jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert wird:Herausheben und Ausmultiplizieren (a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+ a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d

Beispiele zum Ausmultiplizieren von Klammern:

Herausheben und Ausmultiplizieren 4 \cdot(5x+2)=4\cdot5x+4\cdot2 = 20x + 85\cdot(4x+3y)=20x-15yHerausheben und Ausmultiplizieren 5\cdot(4x+3y+7)=20x-15y+353x\cdot(5y-2)=15xy-6x3x\cdot(5x-2)=15xx-6x=15x^{2}-6x

Es spielt dabei keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

3\cdot (6+7x)=(6+7x)\cdot 3


Klammern mit mehreren Termen

Klammern mit mehreren Termen multipliziert man miteinander indem man den ersten Term der ersten Klammer mit allen Termen der zweiten Klammer multipliziert.
Dann multipliziert man den zweiten Term der ersten Klammer mit allen Termen der zweiten Klammer multipliziert.
Dann den dritte… usw.





Herausheben (Ausklammern)

Beim Herausheben (auch “Ausklammern” oder “Faktorisieren”) wird ein Term, welcher eine Summe bzw. eine Differenz ist, in ein Produkt umgewandelt. Dazu muss es einen gemeinsamen Teiler geben.


Beispiel 1:Herausheben \left ( 6 + 4a \right )

Hier lässt sich 2 herausheben:

Herausheben (6+4a)= 2\cdot (3a+2)


Beispiel 2:

Herausheben \left ( 2ax+x \right )

In diesem Fall lässt sich x herausheben:

Herausheben \left ( 2ax+x \right ) = x\cdot (2a+1)

Sowohl im ersten als auch im zweiten Summanden steckt als gemeinsamer Teil ein x. Dieses gemeinsame x wird vor die Klammer gezogen und in der Klammer verbleiben die beiden Summanden, reduziert um ein x:

Zur Kontrolle kann man wieder ausmultiplizieren: 

x\cdot (2a+1)= ( 2ax+x \right))


Klammer mit negativen Vorzeichen

Steht vor einer Klammer ein “Minus” so kann die Klammer aufgelöst werden indem sich alle Vorzeichen innerhalb der klammer umdrehen:
-(2a+4b-4c+7d)=-2a-4b+4c-7d