Die Geradengleichung

Im vorigen Kapitel lineare Funktionen haben wir bereits die Geradengleichung als lineare Funktion kennengelernt. Es gibt noch einen weiteren Fall von Geraden die streng genommen keine Funktionen sind, nämlich wenn die Gerade parallel zur y-Achse verläuft:

Geradengleichung
g: x = 3

In diesem Fall hat die Gerade einen konstanten, von y unabhängigen Wert für x, nämlich 3. Die Gleichung dieser Geraden lautet daher einfach x=3.



Anwendung der Geradengleichung


Schnittpunkt mit der x-Achse

Die Bestimmung des Schnittpunkts einer Geraden mit der x-Achse basiert auf folgenden Überlegungen:
Alle Punkte auf der x-Achse haben eine y-Koordinate von null, also gilt y=0.
Da aber auch die Geradengleichung y = kx+ d gilt folgt:

Geradengleichung k\cdot x+d=0


Wenn k und d bekannt sind kann man x einfach durch Umformen ausrechnen:

Geradengleichung  Umformung k\cdot x+d=0\: \: \: \: |-d
Geradengleichung  Umformung  k\cdot x=-d\: \: \: \: \: \: |\div k


Geradengleichung  Umformung   \dpi{120} x=-\frac{d}{k}
Dieser Ausdruck kann als “Formel” für die x-Koordinate des Schnittpunkts einer Geraden mit der x-Achse verwendet werden. 


Beispiel :
Finde den Schnittpunkt mit der x-Achse der Geraden y=-2x+4.

Am Graphen lässt sich der gesuchte Schnittpunkt ablesen:

Geradengleichung

In vielen Fällen ist es genauer und schneller wenn man den Schnittpunkt durch eine Berechnung bestimmt. Die geht wie oben erwähnt indem man einfach y=0 setzt. Dadurch erhält man 0 =-2x+4.

\dpi{120} 0=-2\cdot x+4\: \: \: \: \: \: \: \: \: |-4
\dpi{120} -4=-2\cdot x\: \: \: \: \: \: \: \: \: |\cdot (-1)
\dpi{120} 4=2\cdot x\: \: \: \: \: \: \: |\div 2

\dpi{120} \large x=2

Der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse hat also die Koordinaten S(2|0).


Schnittpunkt zweier Geraden

Der Schnittpunkt zweier Geraden ist jener Punkt an dem beide Gerade die gleichen Werte für x und y besitzen. Daher erhält man die x-Koordinate des Schnittpunkts xs indem man beide Geradengleichungen einfach gleichsetzt:

  1. Geradengleichung  Schnittpunkt \dpi{120} \large g_{1}: y=k_1 \cdot x \, \: + d_1\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: g_{2}: y=k_2 \cdot x \, \: + d_2
    \dpi{120} \large k_1 \cdot x_S \, \: + d_1\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: =\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:k_2 \cdot x_S \, \: + d_2

Durch Umformen erhält man dann für x:\dpi{120} \large k_1 \cdot x_S \, \: + d_1\: =\: \:k_2 \cdot x_S \, \: + d_2\; \; \; \; \; \; \; |-d_1\; \; |-k_2\cdot x_S
\dpi{120} \large k_1 \cdot x_S -k_2\cdot x_S =d_2-d_1
\dpi{120} \large x_S \cdot (k_1-k_2)=d_2-d_1

Geradengleichung Schnittpunkt \dpi{120} \large x_S =\frac{d_2-d_1}{k_1-k_2}

Dieser Ausdruck kann als “Formel” für die x-Koordinate des Schnittpunkts zweier Geraden verwendet werden. 

Die y-Koordinate des Schnittpunktes yS erhält man indem man den berechneten xS-Wert in eine der beiden Geradengleichungen einsetzt.

Geradengleichung  \dpi{120} \large y_S = k_1\cdot x_S + d_1\; \; \; \; \; oder\; \; \; \; \; y_S = k_2\cdot x_S + d_2


Beispiel:
Es ist der Schnittpunkt zweier Geraden g1 und g2 zu bestimmen.
g1: y=2x+1
g2: y=-x+4

Berechnung von xS durch Gleichsetzten:

2 x_S+1=-x_S + 4\; \; \; \; \; \; \; |+x\; \; \; \; |-1
3x_S=3\; \; \; \; \; \; |\div 3
\large x_S=1

Berechnung von yS durch einsetzten in g1:
\large y_S=2\cdot 1+1=3Damit lauten die Koordinaten für den Schnittpunkt:
S (1|3)

Am Graphen lässt sich der Schnittpunkt ebenfalls ablesen: 

Schnittpunkt S der Geraden g1 und g2

Interaktive Grafik: Schnittpunkt zweier Geraden

In dieser interaktiven Grafik kann der Schnittpunkt zweier Geraden bestimmt werden: