Die binomischen Formeln


Auf dieser Seite wird erklärt was Binome sind und wie die binomischen Formeln lauten und anzuwenden sind.


Inhalt:

  • Was sind Binome?
  • Wie lauten die drei binomischen Formeln?
  • Erste binomische Formel
  • Zweite binomische Formel
  • Dritte binomische Formel
  • Übungsbeispiele zu den binomischen Formeln

Was sind Binome?

Ein Binom ein Polynom mit zwei Gliedern. Genauer: Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome. Beispielsweise sind:

Der Term (a+b)^2 ist kein Binom, sondern das Quadrat eines Binoms.

Rechenregeln für Binome:

(Siehe auch Ausmultiplizieren von Klammern.)
Für die Multiplikation zweier Binome gilt:


Dieses Bild hat ein leeres alt-Attribut; sein Dateiname ist da18b6c506c61b55425e1e38eec38cee2dff0d0c.
bzw.
Dieses Bild hat ein leeres alt-Attribut; sein Dateiname ist ce525765b8bf9443c91648a0c0319e520612c3e2.
und
Dieses Bild hat ein leeres alt-Attribut; sein Dateiname ist b76c2d422abc5cae758c04440b231e028238c323.

Verbal formuliert: Multipliziere jeden Term des ersten Binoms (der ersten Klammer) mit jedem Term des zweiten Binoms (der zweiten Klammer).



Die binomischen Formeln

Folgende drei Sonderfälle sind als Binomische Formeln bekannt:

binomischen Formeln
binomischen Formeln
binomischen Formeln

Man muss diese Formeln nicht auswendig lernen. Mithilfe der Rechenregeln für das Ausmultiplizieren kann man sie bei Bedarf herleiten. Dennoch ist es hilfreich sie immer “parat” zu haben.


Erste binomische Formel

binomischen Formeln erste

Herleitung:

Durch multiplizieren des Binoms (a+b) mit sich selbst (=quadrieren) erhält man die erste binomische Formel:

( a + b ) ∙ ( a + b ) = aa + ab + ba + bb = a2 + ab+ab + b2 = a2 + 2ab + b2


Graphische Veranschaulichung der ersten binomischen Formel:

binomischen Formeln : graphische veranschaulichung

Die Seitenlänge des Quadrats ist (a + b). Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Quadrats A =  (a+b)². Alle Teilflächen ergeben ebenfalls: a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²


Beispiele zur ersten binomischen Formel

Beispiel 1

binomischen Formeln \left ( 4+3 \right )^2 = 4^2 + 2\cdot 4\cdot 3+3^2= 16+24+9 = 49

Natürlich hätte man es auch einfach so rechnen können:
binomischen Formeln \left ( 4+3 \right )^2 = 7^2 = 49Aber es gibt auch fälle wo das nicht geht… 

 

Beispiel 2

binomischen Formeln (2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot3+3^2=4x^2+12x+9

Die Vorgehensweise ist recht einfach:
Setzte für a und b die entsprechenden Zahlen oder Variablen ein und rechne die einzelnen Terme aus.

Weitere Beispiele:

binomischen Formeln(4+3y)^2= 4^2 + 2\cdot 4\cdot 3y + (3y)^2 = 16 + 24y + 9y^2


binomischen Formeln \left ( 5x+2y \right )^2 = (5x)^2+2\cdot 5x\cdot 2y+(2y)^2 = 25x^2+20xy + 4y^2


binomischen Formeln (\frac{x}{2}+4y)=( \frac{x}{2})^2 +2\cdot \frac{x}{2}\cdot 4y+ \left ( 4y \right )^2 = \frac{x^2}{4}+4xy + 16y^2

Weitere Übungsaufgaben befinden sich am Ende der Seite. 


Zweite binomische Formel

binomischen Formeln

Herleitung der zweiten binomischen Formel:

Man kann das Binom (a-b) auch anders anschreiben: \large (a-b) = (a+(-b)) 
Jetzt kann man wie bei der ersten binomischen Formel vorgehen, nur mit dem Unterschied dass b negativ ist. Dabei müssen die Rechenregeln für negative Zahlen berücksichtigt werden. Mittels Ausmultiplizieren erhält man so die zweite Binomische Formel:

\large (a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)=(a+(-b))\cdot (a+(-b))= a\cdot a+a\cdot (-b)+(-b)\cdot a+(-b)\cdot (-b)= a^2+a\cdot (-b)+ (-b)\cdot a+b^2=a^2 -2\cdot a\cdot b+b^2\Rightarrow

\LARGE (a-b)^2=a^2 -2\cdot a\cdot b+b^2


Beispiele zur zweiten binomischen Formel:

\dpi{120} \large (2x-3)^2 = (2x)^2 - 2\cdot 2x\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9


\dpi{120} \large (5-4y)^2=5^2 - 2\cdot 5\cdot 4y+(4y)^2=25-40y+16y^2


\dpi{120} \large (3x-7y)^2 = (3x)^2-2\cdot 3x\cdot 7y+(7y)^2=9x^2- 42xy+49y^2Weitere Übungsaufgaben befinden sich am Ende der Seite. 


Dritte binomische Formel

binomischen Formeln

Herleitung der dritten binomischen Formel:

Wieder werden zwei klammern miteinander multipliziert. Diesmal handelt es sich aber nicht um eine Quadrierung da sich die beiden Binome unterscheiden:
\dpi{120} \large (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a+b\cdot \left ( -b \right )=a^2-a\cdot b+a\cdot b-b^2=a^2-b^2\Rightarrow

binomischen Formeln

Beispiele zur dritten binomischen Formel:

\dpi{120} \large (3x+5)\cdot (3x-5)=9x^2-25


\dpi{120} \large (2-3y)\cdot (2+3y)=4-9y^2


\dpi{120} \large (3x+7y)\cdot (3x-7y)=9x^2 -49y^2

Weitere Übungsaufgaben befinden sich am Ende der Seite. 


Übungsaufgaben zu binomischen Formeln