Brüche und Bruchrechnen

Grundlagen der Bruchrechnung und einige Anwendungsbeispiele zum Rechnen mit Brüchen.


  • Grundlagen der Bruchrechnung
  • Einfache Beispiele
  • Rechenregeln für Brüche
    • Brüche erweitern
    • Brüche kürzen
    • Brüche addieren
    • Brüche subtrahieren
    • Multiplikation von Brüchen
    • Brüche dividieren
    • Ganze Zahlen als Bruch
    • Der unechte Bruch

Grundlagen der Bruchrechnung

Brüche und Dezimalzahlen sind Schreibweisen um Zahlen zu beschreiben die meist zwischen zwei ganzen Zahlen liegen. Auf diese Weise kann eine Hälfte, ein Viertel oder ein Drittel mathematisch genau ausgedrückt werden.

Der Nenner ist die Zahl die unten steht und gibt an um welchen Teil es sich handelt. Wenn also unten zum Beispiel 4 steht ist ein Viertel gemeint. Wenn 8 steht ein Achtel usw. Je größer der Nenner desto kleiner ist der Anteil. Der Zähler ist die Zahl die oben steht und angibt wie viele Teile gemeint sind.

Bruchrechnung

Ein Ganzes, zwei Halbe und vier Viertel.

Ein Bruch kann auch als “unfertige Division” betrachtet werden, wobei der Bruchstrich das Divisionszeichen ist:
\frac{2}{5}= 2 \div 5 = 0,2\frac{3}{2}= 3 \div 2 = 1,5\frac{1}{3}= 1 \div 3 = 0,3333... = 0,\dot 3

Hier sind einige weitere Beispiele von Brüchen angeführt und mit anderen Schreibweisen verglichen:

Bruch In WortenAls DezimalzahlAls Prozentsatz
Bruchrechnung \frac{1}{4}Ein Viertel0,2525%
Bruchrechnung \frac{3}{4}Drei Viertel0,7575%
Bruchrechnung \frac{1}{2}Ein Halbes
oder eine Hälfte
0,550%
Bruchrechnung \frac{1}{3}Ein Drittel0,333… ≅ 0,33≅ 33,33 %
Bruchrechnung \frac{2}{3}Zwei Drittel0,666… ≅ 0,67≅ 66,67 %

Ein Vorteil der Bruchschreibweise ist es, periodische Dezimalzahlen ohne zu runden trotzdem genau anzugeben.



Einfache Beispiele zur Bruchrechnung

Eine Tafel Schokolade die aus 6 Reihen mit jeweils 4 Stück Schokolade besteht soll soll gerecht, also gleichmäßig auf einen gegebene Anzahl Personen aufgeteilt werden. Wie viele Stück bekommt jede Person?
Bruchrechnung
Bevor wir anfangen zu Teilen ist es ratsam die Anzahl der Stücke zu ermitteln. 
6\times 4 = 24
Daher ergeben sechs Reihen zu je vier Stück 24 Stück.

 

a) Wenn die Tafel auf zwei Personen aufgeteilt wird bekommt jeder zwölf Stück:\frac{Tafel}{2 \, Personen}=\frac{24 Stk.}{2\, Personen} = 24\div 2= 12 \, Stk. \, \, pro \, \, Person

Bruchrechnung

b) Auf drei PErsonen aufgeteilt ergeben sich acht Stück pro Person.\frac{Tafel}{3 \, Personen}=\frac{24 Stk.}{3\, Personen} = 24\div 3= 8 \, Stk. \, \, pro \, \, Person

Bruchrechnung

c) Ist die Anzahl der Personen vier so erhält jeder sechs Stück Schokolade.\frac{Tafel}{4 \, Personen}=\frac{24 Stk.}{4\, Personen} = 24\div 4= 6 \, Stk. \, \, pro \, \, Person

Bruchrechnung

d) Wird die Schokolade durch sechs Personen geteilt so sind es 4 Stück für jeden.\frac{Tafel}{6 \, Personen}=\frac{24 Stk.}{6\, Personen} = 24\div 6= 4 \, Stk. \, \, pro \, \, Person

Bruchrechnung

e) Wenn die Schokolade auf acht geteilt wird so bekommt jeder drei Stück.\frac{Tafel}{8 \, Personen}=\frac{24 Stk.}{8\, Personen} = 24\div 8= 3 \, Stk. \, \, pro \, \, Person

Bruchrechnung

f) Zusatzaufgabe: Die Tafel wiegt 96 Gramm. Wie viel Gramm wiegt ein Stück?96 \, Gramm \, pro \, Tafel = \frac{96 \, Gramm}{Tafel}= \frac{96 \, Gramm}{24 \, Stk} =96 \div 4=\frac{4\, Gramm}{1 \, Stk.} = 4\, Gramm \, pro \, Stk.

Ein Stück Schokolade wiegt also 4 Gramm. 





Regeln beim Rechnen mit Brüchen

Brüche erweitern

Erweitert bedeutet eine Zahl sowohl mit dem Nenner als auch mit den Zähler zu multiplizieren. Dies ist erlaubt da sich der Zahlenwert dadurch nicht ändert. Mit diesem Trick kann man aber oft Berechnungen vereinfachen. 

\frac{5}{3}= \frac{5\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{20}{12}

 

Brüche kürzen

Ein Bruch wird gekürzt, indem man sowohl den Zähler (oben) als auch den Nenner (unten) durch die gleiche Zahl teilt. 

\frac{21}{28}= \frac{21\div 7}{28\div 7}= \frac{3}{4}

Bruchrechnung: Brüche addieren

Man kann Brüche mit unterschiedlichem Nenner nicht einfach so addieren oder subtrahieren. Dazu müssen sie zuerst auf den gleichen Nenner gebracht werden. Das geht in machen Fällen recht einfach. Zum Beispiel wenn man ein Halbes mit einem Vieretl addiert sagt man eben ein Halbes sind ja zwei Viertel. Dann addiert man einfach die Zähler. Der Nenner bleibt dabei gleich.

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

In anderen Fällen geht das aber nicht so einfach. Um Brüche zu Addieren gibt es aber zum Glück eine Methode die immer funktioniert: man erweitert beide Brüche mit den Nenner des jeweils anderen Bruchs:


\frac{5}{3}+\frac{4}{7}=\frac{5\cdot 7}{3\cdot 7}+\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{35}{21}+\frac{12}{21}= \frac{35+12}{21}=\frac{47}{21}

 


Bruchrechnung: Brüche subtrahieren

Dasselbe gilt fürs Subtrahieren, da eine Subtraktion nichts anderes ist als die Addition einer negativen Zahl:

\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}


\frac{5}{3}-\frac{4}{7}=\frac{5\cdot 7}{3\cdot 7}-\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{35}{21}-\frac{12}{21}= \frac{35-12}{21}=\frac{23}{21}


Bruchrechnung: Brüche multiplizieren

“Oben mal oben durch unten mal unten.”:  Brüche werden multipliziert indem wir „Zähler mit Zähler“ und „Nenner mit Nenner“ multiplizieren:

\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{7}=\frac{5\cdot 3}{4\cdot 7}= \frac{15}{28}
 
\frac{2x}{3y}\cdot \frac{5}{7y}=\frac{10x}{21y^2}
 

Bruchrechnung: Brüche dividieren

Zwei Brüche werden dividiert, indem man bei dem Bruch, durch den geteilt wird, den Zähler und den Nenner vertauscht (Kehrwert bildet) und danach die beiden Brüche miteinander multipliziert:

\frac{2x}{3y}\div \frac{7y}{5}= \frac{2x}{3y}\cdot \frac{5}{7y}= \frac{10x}{21y^2}
 
Alternativ kann man eine Division zweier Brüche als “Doppelbruch” anschreiben da ein Bruch ja eine Division ist. Die Regel zum Auflösen lautet dann:“Außen mal Außen durch Innen mal Innen.”\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot b}{c\cdot d}
 
\frac{\frac{2x}{3y}}{\frac{7y}{5}} = \frac{2x\cdot 5}{3y\cdot 7y}= \frac{10x}{21y^2}
 

Eine ganze Zahl als Bruch

In manchen Fällen möchte man eine ganze Zahl als Bruch anschreiben. Das geht ganz leicht. Die ganze Zahl ist dann der Zähler, der Nenner ist einfach 1.

3= \frac{3}{1}


Unechter Bruch

Eine “unechter Bruch” liegt vor wenn eine ganze Zahl und Bruch gemischt angeschrieben sind. Zum Beispiel “dreieinhalb” 3\frac{1}{2} .

Einen solchen unechten Bruch kann man in einen echten Bruch umwandeln indem man die ganze Zahl als Bruch anschreibt (drei = “drei eintel”) und dann die Brüche addiert:

3\frac{1}{2}= 3+\frac{1}{2}= \frac{3}{1}+\frac{1}{2}= \frac{3\cdot 2}{1\cdot 2}+\frac{1\cdot 1}{2\cdot 1}= \frac{6}{2} + \frac{1}{2}= \frac{7}{2}