Beispiel: Funktionen und Tangenten


In diesem Beispiel geht es um den Zusammenhang zwischen Funktionen und Tangenten. Es ist hier folgende Zusammenhänge von entscheidender Bedeutung:
1. In Tangetialpunkten (=Berührpunkten) haben Funktionen die gleiche Steigung wie die Tangenten.
2. Die erste Ableitung einer Funktion ist die Funktion der Steigung.


Die Funktion y = 2 – x4 wird an der Stelle x = \frac{1}{2} von einer Geraden g(x) tangiert. Wie lautet die Gleichung der Geraden?

Die allgemeine Geradengleichung lautet: 
\large y = k\cdot x + d

Gesucht ist also k und d.

k = Steigung der Geraden = Steigung der Funktion im Tangetialpunkt = Funktionswert der ersten Ableitung \large f{}'(x) im Punkt x =  \large \frac{1}{2} ,  also\large f{}'(\frac{1}{2}) 

f{}'(x) = -4\cdot x^3 \Rightarrow f{}'(\frac{1}{2}) = -4\cdot (\frac{1}{2})^3 =-4\cdot (\frac{1}{8}) = -\frac{1}{2} = k




Damit ist einmal die Steigung der Geraden gefunden. Um d zu finden brauchen wir irgendeinen Punkt auf der Geraden. Wir wissen dass die Gerade durch den Tangetialpunkt T geht, durch die wiederum die Funktion f(x) geht. Die x-Koordinate von T ist 1/2 (laut Angabe). Für die y-Koordinate gilt dann:

y = f(\frac{1}{2}) = 2- (\frac{1}{2})^4 = 2 - \frac{1}{16} = \frac{31}{16}

T(\frac{1}{2};\frac{31}{16})

Da die Tangente ja auch durch den Tangetialpunkt geht, kann man für x und y die Koordinaten von diesem Punkt einsetzten. Weiters ist k ebenfalls schon bekannt da k die Steigung der Funktion in T und der Steigung der Tangente (überall) ist:

\frac{31}{16}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+d = -\frac{1}{4}+d\Rightarrow d= \frac{31}{16}+\frac{1}{4}=\frac{31}{16}+\frac{4}{16}= \frac{35}{16} = d

Die gesuchte Geradengleichung lautet daher:

y = -\frac{1}{2}x + \frac{35}{16}

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